home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ IRIX Base Documentation 2002 November / SGI IRIX Base Documentation 2002 November.iso / usr / share / catman / p_man / cat3 / SCSL / dlatbs.z / dlatbs
Encoding:
Text File  |  2002-10-03  |  8.9 KB  |  265 lines
  1.  
  2.  
  3.  
  4. DDDDLLLLAAAATTTTBBBBSSSS((((3333SSSS))))                                                          DDDDLLLLAAAATTTTBBBBSSSS((((3333SSSS))))
  5.  
  6.  
  7.  
  8. NNNNAAAAMMMMEEEE
  9.      DLATBS - solve one of the triangular systems  A *x = s*b or A'*x = s*b
  10.      with scaling to prevent overflow, where A is an upper or lower triangular
  11.      band matrix
  12.  
  13. SSSSYYYYNNNNOOOOPPPPSSSSIIIISSSS
  14.      SUBROUTINE DLATBS( UPLO, TRANS, DIAG, NORMIN, N, KD, AB, LDAB, X, SCALE,
  15.                         CNORM, INFO )
  16.  
  17.          CHARACTER      DIAG, NORMIN, TRANS, UPLO
  18.  
  19.          INTEGER        INFO, KD, LDAB, N
  20.  
  21.          DOUBLE         PRECISION SCALE
  22.  
  23.          DOUBLE         PRECISION AB( LDAB, * ), CNORM( * ), X( * )
  24.  
  25. IIIIMMMMPPPPLLLLEEEEMMMMEEEENNNNTTTTAAAATTTTIIIIOOOONNNN
  26.      These routines are part of the SCSL Scientific Library and can be loaded
  27.      using either the -lscs or the -lscs_mp option.  The -lscs_mp option
  28.      directs the linker to use the multi-processor version of the library.
  29.  
  30.      When linking to SCSL with -lscs or -lscs_mp, the default integer size is
  31.      4 bytes (32 bits). Another version of SCSL is available in which integers
  32.      are 8 bytes (64 bits).  This version allows the user access to larger
  33.      memory sizes and helps when porting legacy Cray codes.  It can be loaded
  34.      by using the -lscs_i8 option or the -lscs_i8_mp option. A program may use
  35.      only one of the two versions; 4-byte integer and 8-byte integer library
  36.      calls cannot be mixed.
  37.  
  38. PPPPUUUURRRRPPPPOOOOSSSSEEEE
  39.      DLATBS solves one of the triangular systems A *x = s*b or A'*x = s*b with
  40.      scaling to prevent overflow, where A is an upper or lower triangular band
  41.      matrix. Here A' denotes the transpose of A, x and b are n-element
  42.      vectors, and s is a scaling factor, usually less than or equal to 1,
  43.      chosen so that the components of x will be less than the overflow
  44.      threshold.  If the unscaled problem will not cause overflow, the Level 2
  45.      BLAS routine DTBSV is called.  If the matrix A is singular (A(j,j) = 0
  46.      for some j), then s is set to 0 and a non-trivial solution to A*x = 0 is
  47.      returned.
  48.  
  49.  
  50. AAAARRRRGGGGUUUUMMMMEEEENNNNTTTTSSSS
  51.      UPLO    (input) CHARACTER*1
  52.              Specifies whether the matrix A is upper or lower triangular.  =
  53.              'U':  Upper triangular
  54.              = 'L':  Lower triangular
  55.  
  56.      TRANS   (input) CHARACTER*1
  57.              Specifies the operation applied to A.  = 'N':  Solve A * x = s*b
  58.              (No transpose)
  59.              = 'T':  Solve A'* x = s*b  (Transpose)
  60.  
  61.  
  62.  
  63.                                                                         PPPPaaaaggggeeee 1111
  64.  
  65.  
  66.  
  67.  
  68.  
  69.  
  70. DDDDLLLLAAAATTTTBBBBSSSS((((3333SSSS))))                                                          DDDDLLLLAAAATTTTBBBBSSSS((((3333SSSS))))
  71.  
  72.  
  73.  
  74.              = 'C':  Solve A'* x = s*b  (Conjugate transpose = Transpose)
  75.  
  76.      DIAG    (input) CHARACTER*1
  77.              Specifies whether or not the matrix A is unit triangular.  = 'N':
  78.              Non-unit triangular
  79.              = 'U':  Unit triangular
  80.  
  81.      NORMIN  (input) CHARACTER*1
  82.              Specifies whether CNORM has been set or not.  = 'Y':  CNORM
  83.              contains the column norms on entry
  84.              = 'N':  CNORM is not set on entry.  On exit, the norms will be
  85.              computed and stored in CNORM.
  86.  
  87.      N       (input) INTEGER
  88.              The order of the matrix A.  N >= 0.
  89.  
  90.      KD      (input) INTEGER
  91.              The number of subdiagonals or superdiagonals in the triangular
  92.              matrix A.  KD >= 0.
  93.  
  94.      AB      (input) DOUBLE PRECISION array, dimension (LDAB,N)
  95.              The upper or lower triangular band matrix A, stored in the first
  96.              KD+1 rows of the array. The j-th column of A is stored in the j-
  97.              th column of the array AB as follows:  if UPLO = 'U', AB(kd+1+i-
  98.              j,j) = A(i,j) for max(1,j-kd)<=i<=j; if UPLO = 'L', AB(1+i-j,j)
  99.              = A(i,j) for j<=i<=min(n,j+kd).
  100.  
  101.      LDAB    (input) INTEGER
  102.              The leading dimension of the array AB.  LDAB >= KD+1.
  103.  
  104.      X       (input/output) DOUBLE PRECISION array, dimension (N)
  105.              On entry, the right hand side b of the triangular system.  On
  106.              exit, X is overwritten by the solution vector x.
  107.  
  108.      SCALE   (output) DOUBLE PRECISION
  109.              The scaling factor s for the triangular system A * x = s*b  or
  110.              A'* x = s*b.  If SCALE = 0, the matrix A is singular or badly
  111.              scaled, and the vector x is an exact or approximate solution to
  112.              A*x = 0.
  113.  
  114.      CNORM   (input or output) DOUBLE PRECISION array, dimension (N)
  115.  
  116.              If NORMIN = 'Y', CNORM is an input argument and CNORM(j) contains
  117.              the norm of the off-diagonal part of the j-th column of A.  If
  118.              TRANS = 'N', CNORM(j) must be greater than or equal to the
  119.              infinity-norm, and if TRANS = 'T' or 'C', CNORM(j) must be
  120.              greater than or equal to the 1-norm.
  121.  
  122.              If NORMIN = 'N', CNORM is an output argument and CNORM(j) returns
  123.              the 1-norm of the offdiagonal part of the j-th column of A.
  124.  
  125.  
  126.  
  127.  
  128.  
  129.                                                                         PPPPaaaaggggeeee 2222
  130.  
  131.  
  132.  
  133.  
  134.  
  135.  
  136. DDDDLLLLAAAATTTTBBBBSSSS((((3333SSSS))))                                                          DDDDLLLLAAAATTTTBBBBSSSS((((3333SSSS))))
  137.  
  138.  
  139.  
  140.      INFO    (output) INTEGER
  141.              = 0:  successful exit
  142.              < 0:  if INFO = -k, the k-th argument had an illegal value
  143.  
  144. FFFFUUUURRRRTTTTHHHHEEEERRRR DDDDEEEETTTTAAAAIIIILLLLSSSS
  145.      A rough bound on x is computed; if that is less than overflow, DTBSV is
  146.      called, otherwise, specific code is used which checks for possible
  147.      overflow or divide-by-zero at every operation.
  148.  
  149.      A columnwise scheme is used for solving A*x = b.  The basic algorithm if
  150.      A is lower triangular is
  151.  
  152.           x[1:n] := b[1:n]
  153.           for j = 1, ..., n
  154.                x(j) := x(j) / A(j,j)
  155.                x[j+1:n] := x[j+1:n] - x(j) * A[j+1:n,j]
  156.           end
  157.  
  158.      Define bounds on the components of x after j iterations of the loop:
  159.         M(j) = bound on x[1:j]
  160.         G(j) = bound on x[j+1:n]
  161.      Initially, let M(0) = 0 and G(0) = max{x(i), i=1,...,n}.
  162.  
  163.      Then for iteration j+1 we have
  164.         M(j+1) <= G(j) / | A(j+1,j+1) |
  165.         G(j+1) <= G(j) + M(j+1) * | A[j+2:n,j+1] |
  166.                <= G(j) ( 1 + CNORM(j+1) / | A(j+1,j+1) | )
  167.  
  168.      where CNORM(j+1) is greater than or equal to the infinity-norm of column
  169.      j+1 of A, not counting the diagonal.  Hence
  170.  
  171.         G(j) <= G(0) product ( 1 + CNORM(i) / | A(i,i) | )
  172.                      1<=i<=j
  173.      and
  174.  
  175.         |x(j)| <= ( G(0) / |A(j,j)| ) product ( 1 + CNORM(i) / |A(i,i)| )
  176.                                       1<=i< j
  177.  
  178.      Since |x(j)| <= M(j), we use the Level 2 BLAS routine DTBSV if the
  179.      reciprocal of the largest M(j), j=1,..,n, is larger than
  180.      max(underflow, 1/overflow).
  181.  
  182.      The bound on x(j) is also used to determine when a step in the columnwise
  183.      method can be performed without fear of overflow.  If the computed bound
  184.      is greater than a large constant, x is scaled to prevent overflow, but if
  185.      the bound overflows, x is set to 0, x(j) to 1, and scale to 0, and a
  186.      non-trivial solution to A*x = 0 is found.
  187.  
  188.      Similarly, a row-wise scheme is used to solve A'*x = b.  The basic
  189.      algorithm for A upper triangular is
  190.  
  191.           for j = 1, ..., n
  192.  
  193.  
  194.  
  195.                                                                         PPPPaaaaggggeeee 3333
  196.  
  197.  
  198.  
  199.  
  200.  
  201.  
  202. DDDDLLLLAAAATTTTBBBBSSSS((((3333SSSS))))                                                          DDDDLLLLAAAATTTTBBBBSSSS((((3333SSSS))))
  203.  
  204.  
  205.  
  206.                x(j) := ( b(j) - A[1:j-1,j]' * x[1:j-1] ) / A(j,j)
  207.           end
  208.  
  209.      We simultaneously compute two bounds
  210.           G(j) = bound on ( b(i) - A[1:i-1,i]' * x[1:i-1] ), 1<=i<=j
  211.           M(j) = bound on x(i), 1<=i<=j
  212.  
  213.      The initial values are G(0) = 0, M(0) = max{b(i), i=1,..,n}, and we add
  214.      the constraint G(j) >= G(j-1) and M(j) >= M(j-1) for j >= 1.  Then the
  215.      bound on x(j) is
  216.  
  217.           M(j) <= M(j-1) * ( 1 + CNORM(j) ) / | A(j,j) |
  218.  
  219.                <= M(0) * product ( ( 1 + CNORM(i) ) / |A(i,i)| )
  220.                          1<=i<=j
  221.  
  222.      and we can safely call DTBSV if 1/M(n) and 1/G(n) are both greater than
  223.      max(underflow, 1/overflow).
  224.  
  225.  
  226. SSSSEEEEEEEE AAAALLLLSSSSOOOO
  227.      INTRO_LAPACK(3S), INTRO_SCSL(3S)
  228.  
  229.      This man page is available only online.
  230.  
  231.  
  232.  
  233.  
  234.  
  235.  
  236.  
  237.  
  238.  
  239.  
  240.  
  241.  
  242.  
  243.  
  244.  
  245.  
  246.  
  247.  
  248.  
  249.  
  250.  
  251.  
  252.  
  253.  
  254.  
  255.  
  256.  
  257.  
  258.  
  259.  
  260.  
  261.                                                                         PPPPaaaaggggeeee 4444
  262.  
  263.  
  264.  
  265.